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邱奇-图灵论题

邱奇-图灵论题

邱奇-图灵论题（The Church-Turing thesis）是计算机科学中以数学家阿隆佐·邱奇(Alonzo Church)和阿兰·图灵命名的论题。该论题最基本的观点表明，所有计算或算法都可以由一台图灵机来执行。以任何常规编程语言编写的计算机程序都可以翻译成一台图灵机，反之任何一台图灵机也都可以翻译成大部分编程语言程序，所以该论题和以下说法等价：常规的编程语言可以足够有效的来表达任何算法。该论题被普遍假定为真，也被称为邱奇论题或邱奇猜想 和图灵论题。

本论题之等价形式

本论题的另外一种说法就是逻辑和数学中的有效或机械方法可由图灵机来表示。通常我们假定这些方法必须满足以下的要求： #一个方法由有限多简单和精确的指令组成，这些指令可由有限多的符号来描述。 #该方法总会在有限的步骤内产生出一个结果。 #基本上人可以仅用纸张和铅笔来执行。 #该方法的执行不需人类的智慧来理解和执行这些指令。 此类方法的一个范例便是用于确定两个自然数的最大公约数的欧基里德算法。 “有效方法”这个想法在直觉上是清楚的，但却没有在形式上加以定义，因为什么是“一个简单而精确的指令”和什么是“执行这些指令所需的智力”这两个问题并没有明确的答案。 (如需欧几里得算法之外的范例，请参见数论中的有效结果。)

本论题之起源

在他1936年的论文“论可计算数字，及其在判定性问题(Entscheidungsproblem--德语，译者注)中的应用”中，阿兰·图灵试图通过引入图灵机来形式地展示这一想法。在此篇论文中，他证明了“判定性问题”是无法解决的。几个月之前，阿隆佐·邱奇在“关于判定性问题的解释”(A Note on the Entscheidungsproblem)一文中证明出了一个相似的论题，但他采用但是递归函数和Lambda可定义函数来形式地描述有效可计算性。Lambda可定义函数由阿隆佐·邱奇和史蒂芬·克林(Stephen Kleene) (Church 1932, 1936a, 1941, Kleene 1935)提出，而递归函数由库尔特·歌德尔(Kurt Gödel)和雅克斯·赫尔不兰特(Jacques Herbrand) (Gödel 1934, Herbrand 1932)提出。这两个机制描述的是同一集合的函数，正如邱奇和克林(Church 1936a, Kleene 1936)所展示的正整数函数那样。在听说了邱奇的建议后，图灵很快就证明了他的图灵机实际上描述的是同一集合的函数(Turing 1936, 263ff).y

本论题之成功

之后用于描述有效计算的许多其他机制也被提了出来，比如寄存器机器(register machine), 埃米尔·波斯特(Emill Post)的波斯特体系，组合可定义性(combinatory definability)以及马尔可夫算法(Markov 1960)等。所有这些体系都已被证明在计算上和图灵机拥有基本相同的能；类似的系统被称为图灵完全。因为所有这些不同的试图描述算法的努力都导致了等价的结果，所以现在普遍认为邱奇-图灵论题是正确的。但是，该论题不具有数学定理一般的地位，也无法被证明；如果能有一个方法能被普遍接受为一个有效的算法但却无法在图灵机上允许，则该论题也是可以被驳斥的。 在20世纪初期，数学家们经常使用一种非正式的说法即可有效计算，所以为这个概念寻找一个好的形式描述也是十分重要的。当代的数学家们则使用图灵可计算(或简写为可计算)这一定义良好的概念。由于这个没有定义的用语在使用中已经淡去，所以如何定义它的问题几经不是那么重要了。

哲学内涵

邱奇-图灵论题对于心智哲学(philosophy of mind)有很多寓意。有很多重要而悬而未决的问题也涵盖了邱奇-图灵论题和物理学之间的关系，还有超计算性(hypercomputation)的可能性。应用到物理学上，该论题有很多可能的意义： #宇宙是一台图灵机(由此，在物理上对非递归函数的计算是不可能的)。此被定义为大邱奇-图灵论题。 #宇宙不是一台图灵机(也就是说，物理的定律不是图灵可计算的)，但是不可计算的物理事件却不能阻碍我们来创建 超计算机(hypercomputer)。比如，一个物理上实数作为可计算实数的宇宙就可以被划为此类。 #宇宙是一台超计算机, 因为建造物理设备来控制这一特征并来计算非递归函数是可能的。比如，一个悬而未决的问题是量子力学的的事件是图灵可计算的，尽管我们已经证明了任何由qubit所构成的系统都是(最佳)图灵完全的。约翰·卢卡斯(和罗格·本罗泽(Roger Penrose)曾经建议说人的心灵可能是量子超计算的结果。 实际上在这三类之外或其中还有许多其他的技术上的可能性，但这三类只是为了阐述这一概念。

补充材料


- Hofstadter, Douglas R., Gödel, Escher, Bach: an Eternal Golden Braid, Chapter 17.

参考文献


- Church, A., 1932, "A set of Postulates for the Foundation of Logic", Annals of Mathematics, second series, 33, 346-366.
- Church, A., 1936, "An Unsolvable Problem of Elementary Number Theory", American Journal of Mathematics, 58, 345-363.
- Church, A., 1936, "A Note on the Entscheidungsproblem", Journal of Symbolic Logic, 1, 40-41.
- Church, A., 1941, The Calculi of Lambda-Conversion, Princeton: Princeton University Press.
- Gödel, K., 1934, "On Undecidable Propositions of Formal Mathematical Systems", lecture notes taken by Kleene and Rosser at the Institute for Advanced Study, reprinted in Davis, M. (ed.) 1965, The Undecidable, New York: Raven.
- Herbrand, J., 1932, "Sur la non-contradiction de l'arithmetique", Journal fur die reine und angewandte Mathematik, 166, 1-8.
- Kleene, S.C., 1935, "A Theory of Positive Integers in Formal Logic", American Journal of Mathematics, 57, 153-173, 219-244.
- Kleene, S.C., 1936, "Lambda-Definability and Recursiveness", Duke Mathematical Journal 2, 340-353.
- Markov, A.A., 1960, "The Theory of Algorithms", American Mathematical Society Translations, series 2, 15, 1-14.
- Turing, A.M., 1936, "[http://www.abelard.org/turpap2/tp2-ie.asp On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungsproblem]", Proceedings of the London Mathematical Society, Series 2, 42 (1936-37), pp.230-265.
- Pour-El, M.B. & Richards, J.I., 1989, Computability in Analysis and Physics, Springer Verlag. Category:图灵机 ko:처치-튜링 명제

计算机科学

计算机科学是一门包含各种各样与计算和信息处理相关主题的系统学科，从抽象的算法分析、形式化语法等等，到更具体的主题如编程语言、程序设计、软件和硬件等。作为一门学科，它与数学、计算机程序设计、软件工程和计算机工程有显著的不同，却通常被混淆，尽管这些学科之间存在不同程度的交叉和覆盖。 计算机科学研究的课题是：
- 计算机程序能做什么和不能做什么（可计算性）；
- 如何使程序更高效的執行特定任務（算法和复杂性理论）；
- 程序如何存取不同类型的数据（数据结构和数据库）；
- 程序如何显得更具有智能（人工智能）；
- 人类如何与程序沟通（人机互动和人机界面）。 计算机科学的大部分研究是基于“冯·诺依曼计算机”和“图灵机”的，它们是絕大多數实际机器的计算模型。作为此模型的开山鼻祖，邱奇-图灵论题（Church-Turing Thesis）表明，尽管在计算的时间，空间效率上可能有所差异，现有的各种计算设备在计算的能力上是等同的。尽管这个理论通常被认为是计算机科学的基础，可是科学家也研究其它种类的机器，如在实际层面上的并行计算机和在理论层面上概率计算机、oracle 计算机和量子计算机。在这个意义上来讲，计算机只是一种计算的工具：著名的计算机科学家 Dijkstra 有一句名言“计算机科学并不只是关于计算机的，正如天文学并不只是关于望远镜一样”。 计算机科学根植于电子工程、数学和语言学，是科学、工程和艺术的结晶。它在20世纪最后的三十年间兴起成为一门独立的学科，并发展出自己的方法与术语。 早期，虽然英国的剑桥大学和其他大学已经开始教授计算机科学课程，但它只被视为数学或工程学的一个分支，并非独立的学科。剑桥大学声称有世界上第一个传授计算的资格。世界上第一个计算机科学系是由美国的普渡大学在1962年设立，第一个计算机学院於1980年由美国的东北大学设立。现在，多数大学都把计算机科学系列为独立的部门，一部分将它与工程系、应用数学系或其他学科联合。 计算机科学领域的最高荣誉是ACM设立的图灵奖，被誉为是计算机科学的诺贝尔奖。它的获得者都是本领域最为出色的科学家和先驱。华人中首获图灵奖的是姚期智先生.他于2000年以其对计算理论做出的诸多“根本性的、意义重大的”贡献而获得这一崇高荣誉。

计算机系统

计算机系统可划分为软件系统与硬件系统两大类。

硬件


- 结构控制和指令系统
- 算法和逻辑结构
- 存储器结构
  - 冯·诺伊曼结构
  - 哈佛结构
- 输入/输出和数据通信
- 数字逻辑
- 逻辑设计
- 集成电路

计算机系统组织


- 计算机系统结构
- 计算机网络
  - 分布式计算
  - 网络安全
- 计算机系统实现

软件


- 系统软件
  - 操作系统
  - 编译器
- 应用软件
  - 计算机游戏
  - 办公自动化
  - 网络软件
  - CAD软件
- 计算机程序
  - 程序设计和程序设计实践
  - 面向对象技术
  - 程序设计语言
- 软件工程
  - 软件复用
  - 驱动程序
  - 计算机模拟
  - 程序设计方法学

数据和信息系统


- 数据结构
- 数据存储表示
- 数据加密
- 数据压缩
- 编码与信息论
- 文件
- 信息系统
  - 管理信息系统
  - 决策支持系统 - 专家系统
  - 数据库
  - 信息存储和数据存取
  - 信息交互与表达

主要的研究领域

形式化基础


- 逻辑学
  - 谓词逻辑
  - 模态逻辑
  - 时序逻辑
  - 描述逻辑
- 数学
  - 泛代数
  - 递归论
  - 模型论
  - 概率论和数理统计
  - 逻辑代数
    - 布尔代数
  - 离散数学
    - 组合数学
    - 图论
      - 网论
  - 信息论

理论计算机科学


- 形式语言
- 自动机
- 可计算性
- 算法
- 计算复杂性
- 描述复杂性
- 编译器
- 程序设计理论
- 信息论
- 类型理论
- 指称语义
- 微程序
- 遗传算法
- 并行计算

计算方法学


- 人工智能
- 计算机图形学
- 图像处理与计算机视觉
- 模式识别
  - 语音识别
  - 文字识别
  - 签名识别
  - 人脸识别
  - 指纹识别
- 仿真与建模
- 数字信号处理
- 文档与文本处理

计算机应用


- 数值计算
  - 数值分析
  - 定理机器证明
  - 计算机代数
  - 工程计算
    - 计算机化学
    - 计算机物理
    - 生物信息论
    - 计算生物学
- 非数值计算
  - 工厂自动化
  - 办公室自动化
  - 人工智能
  - 信息存储与检索
  - 符号语言处理
  - 计算机辅助科学
    - 计算机辅助设计
    - 计算机辅助教学
    - 计算机辅助管理
    - 计算机辅助软件工程
    - 机器人学
    - 多媒体技术
    - 人机交互
    - 电子商务

特定技术


- 测试基准
- 机器视觉
- 数据压缩
- 设计模式
- 数字信号处理
- 文件格式
- 信息安全
- 国际互联网络
- 超大规模集成电路设计
- 网络传输协议
- 网络处理器技术
- 整数运算器
- 浮点运算器
- 矩阵运算处理器
- 网格

计算科学史


- 计算机历史
- 软件业历史
- 编程思想

相关学科

计算机科学与另外的一些学科紧密相关。这些学科之间有明显的交叉领域，但也有明显的差异。
- 信息科学 - 软件工程 - 信息系统 - 计算机工程 - 信息安全 - 密码学 - 数学 - 工程学 - 语言学 - 逻辑学

卓越的先驱者


- 艾伦·图灵

参见


- 计算机科学课程列表
- 计算机科学家
- 图灵奖
- 冯·诺依曼奖
- 中国计算机产业
- 中国计算机科学大事年表
- 程序设计语言列表
- 操作系统列表
- ASCII艺术

外部链接

ko:컴퓨터 과학 ja:情報工学 simple:Computer Science th:วิทยาการคอมพิวเตอร์ Category:自然科学 Category:技术科学

阿兰·图灵

阿兰·麦席森·图灵（Alan Mathison Turing）），英国数学家、邏輯學家，他被視為计算机之父。 1931年图灵进入剑桥大学国王学院，毕业后到美国普林斯顿大学攻读博士学位，二战爆发后回到剑桥，后曾协助军方破解德国的著名密码系统Enigma，帮助盟军取得了二战的胜利。 图灵对于人工智能的发展有诸多贡献，例如图灵曾写过一篇名为《机器会思考吗？》（Can Machine Think?）的论文，其中提出了一种用于判定机器是否具有智能的试验方法，即图灵试验。至今，每年都有试验的比赛。 此外，图灵提出的著名的图灵机模型为现代计算机的逻辑工作方式奠定了基础。 图灵患有严重的花粉过敏症。

孩童和年轻时代

图灵的父亲Julius Mathison Turing是一名英属印度的公务员。图灵的母亲Ethel1911年在印度的Chatrapur怀了孕。他们希望艾伦在英国出生，所以回到伦敦，住在帕丁顿（Paddington）。结果就在那里诞下了艾伦。父亲的公务员委任使他在艾伦小时候经常来往于英伦和印度。由于对于英属殖民地安全的忧虑，他把家庭留在英伦与朋友同住。图灵很小的时候就表现出它的天才，后来就更加显著。他说他在三个星期里自己学会阅读，而且，就对数字和智力游戏着迷。 六岁的时候，他的父母为他在一间叫圣迈克尔的（St. Michael's）日间学校注了册。女校长很快就注意到他的天才，随后Marlborough学院的许多教育家也注意到这点。1926年，他十四岁的时候转到了在多尔瑟(Dorset)的Sherborne寄宿学校。开学的第一天，刚好遇上了大罢工。图灵决心要赶上第一天的课，于是他独自从南桑普敦（Southampton）骑了六十英里的自行车去上学，途中还在一间旅社度过一宵。 图灵天生对科学的喜好并没有给他在Sherborne的老师留下好印象。他们对教育的定义是着重于人文学科而不是科学。虽然如此，图灵继续在他喜欢的学科表现出惊人的能力。还没有学过基础微积分，他就能够解答在他当时年龄来说是很高深的难题。 1928年，图灵十八岁，開始閱讀阿尔伯特·爱因斯坦的著作。他不但能够理解，而且能够从一段并没有明示的文字里推导出爱因斯坦的运动定律。

大学和可计算性的工作

阿尔伯特·爱因斯坦 图灵不愿意如他在科学和数学方面一样地努力去学习人文学科，他的期终考试曾经几次不及格，因此，他不能进入他的第一志愿三一学院，而是去了剑桥大学国王学院。他在哈代指导下学习。哈代是很受尊敬的数学家。从1931年到1934年，他是当时剑桥一个数学研究和教学中心的Sadleirian讲座教授。图灵在1935年成为国王学院研究员。 图灵在他的重要论文《论可计算数及其在判定问题上的应用》（On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungsproblem）(1936年5月28日提交）里，对哥德尔1931年在证明和计算的限制的结果作了重新论述，他用现在叫做图灵机的简单形式裝置代替了哥德尔的以通用算术为基础的形式语言。由于速度很慢，尽管没有一台图灵机会有实际用途，图灵还是证明了这样的机器有能力解决任何可想像的数学难题，如果这些难题是用一种算法来表达。现今，图灵机还是计算理论研究的中心课题。他继续证明了判定问题（Entscheidungsproblem）是没有答案的。他的证明首先展示了图灵机的停机问题(halting problem)是没有答案的，这是说不可能用一个算法来决定一台指定的图灵机是否会停机。尽管他的证明比阿隆佐·邱奇在λ演算方面相等的证明晚发表了几个月，图灵的著作是更易于理解和直观的。 他的通用（图灵）机的概念也是新穎的。这一通用机能够完成任何其他机器所能做的任务。这篇论文还介绍了可定义数的概念。 图灵在普林斯顿大学度过了1937年和1938年的大部分时间，在邱奇指导下学习。1938年，他取得了博士学位。他的论文介绍了超计算（hypercomputation）的概念。这里，图灵机给加上了启示器，因而，可以用于研究不能用算法解答的问题。 1939年图灵回到剑桥，聆听了维特根斯坦关于数学基本原理（foundations of mathematics）的讲座。他们激烈地争论，图灵为形式主义辩护，而维根斯坦則认为把数学抬得太高而且不能发现任何绝对真理。

早期的计算机研究：图灵试验

形式主义 1945年到1948年，图灵在国家物理实验室，负责自动计算引擎(ACE)的工作 。1949年，他成为曼切斯特大学计算机实验室的副主任，负责最早的真正的计算机---曼切斯特一号的软件工作。在这段时间，他继续作一些比较抽象的研究，如“计算机械和智能”。图灵在对人工智能的研究中，提出了一个叫做图灵试验的实验，尝试定出一个决定机器是否有感觉的标准。 1952年，图灵写了一个国际象棋程序。可是，当时没有一台计算机有足够的运算能力去执行这个程序，他就模仿计算机，每走一步要用半小时。他与一位同事下了一盘，结果程序输了。後來美國新墨西哥州洛斯阿拉莫斯國家實驗室的研究群根據圖靈的理論，在MANIAC上設計出世界上第一個電腦程序的象棋。

图案形成和数理生物学的研究

从1952年直到去世，图灵一直在数理生物学方面做研究。他在1952年发表了一篇论文《形態發生的化学基础》(The Chemical Basis of Morphogenesis)。他主要的兴趣是斐波那契葉序列，存在于植物结构的斐波那契數。他应用了反应-扩散公式，现在已经成为图案形成范畴的核心。他后期的论文都没有发表，一直等到1992年《艾伦·图灵选集》出版，这些文章才见天日。

迫害和逝世

1992年 因为图灵的同性恋倾向而遭到的迫害使得他的职业生涯尽毁。1952年，他的同性伴侣协同一名同谋一起闯进了图灵的房子实施盗窃。图灵为此而报警。但是警方的调查结果使得他被控以“明显的猥亵和性颠倒行为”（请参看鸡奸法）。他没有申辩，并被定罪。在著名的公审后，他被给予了两个选择：坐牢或荷尔蒙疗法。他选择了荷尔蒙注射，并持续了一年。在这段时间里，药物产生了包括乳房不断发育的副作用。1954年，图灵因食用浸过氰化物溶液的苹果死亡。很多人相信他的死是有意的，并判决他的死是自杀。但是他的母亲极力争论他的死是意外，因为他在实验室里不小心堆放了很多化学物品。

参见


- 图灵奖
- 著名同性恋和双性恋者

外部链接


- [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Mathematicians/Turing.html MacTutor biography of Turing]
- [http://www.turing.org.uk/bio/part1.html A short biography of Turing]
- [http://www.idsia.ch/~juergen/turing.html An even shorter bio]
- [http://www.systemtoolbox.com/article.php?history_id=3 Alan Turing - Towards a Digital Mind: Part 1]
- [http://www.loebner.net/Prizef/TuringArticle.html Computing machinery and intelligence] Full text of article.
- [http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_30_11_2/index.html 謎樣的計算機科學之父] Turing Turing Turing ja:アラン・チューリング ko:앨런 튜링 simple:Alan Turing th:แอลัน ทัวริง

算法

Category:代数 Category:算法 算法是指完成一个任务所需要的具体步骤和方法。也就是说给定初始状态或输入数据，经过计算机程序的有限次运算，能够得出所要求或期望的终止状态或输出数据。 算法常常含有重复的步骤和一些比较或逻辑判断。如果一个算法有缺陷，或不适合于某个问题，执行这个算法将不会解决这个问题。不同的算法可能用不同的时间、空间或效率来完成同样的任务。一个算法的优劣可以用空间复杂度与时间复杂度来衡量。

算法的历史

“算法”的中文名稱出自周髀算經；而英文名稱 Algorithm 来自于9世纪波斯数学家比阿勒·霍瓦里松的名字al-Khwarizmi，因為比阿勒·霍瓦里松在数学上提出了算法这个概念。“算法”原为"algorism"，意思是阿拉伯数字的运算法则，在18世纪演变为"algorithm"。 第一次编写算法是Ada Byron于1842年为巴贝奇分析机编写求解解伯努利方程的程序，因此Ada Byron被大多数人认为是世界上第一位程序员。因为巴贝奇(Charles Babbage)未能完成他的巴贝奇分析机，这个算法未能在巴贝奇分析机上执行。 因为"well-defined procedure"缺少数学上精确的定义，19世纪和20世纪早期的数学家、逻辑学家在定义算法上出现了困难。20世纪的英国数学家图灵提出了著名的图灵论题，并提出一种假想的计算机的抽象模型，这个模型被称为图灵机。图灵机的出现解决了算法定义的难题，图灵的思想对算法的发展起到了重要的作用。

算法的特征

#输入，一个算法必须有零个或多个输入量。 #输出，一个算法应有一个或多个输出量，输出量是算法计算的结果。 #确定性，算法的描述必须无歧义，以保证算法的执行结果是确定的。 #有穷性，算法必须在有限步骤内实现。注：此处“有限”不同于数学概念的“有限”，天文数字般的有限对于实际问题并无意义。 #有效性（亦称可行性），能够实现，算法中描述的操作都是可以通过已经实现的基本运算执行有限次来实现。

形式化算法

算法是计算机处理信息的本质，因为计算机程序本质上是一个算法来告诉计算机确切的步骤来执行一个指定的任务，如计算职工的薪水或打印学生的成绩单。 一般地，当算法在处理信息时，会从输入设备或数据的存储地址读取数据，把结果写入输出设备或某个存储地址供以后再调用。

算法的复杂度

算法的时间复杂度

算法的时间复杂度是指算法需要消耗的时间资源。一般来说，计算机算法是问题规模n的函数f（n），算法的时间复杂度也因此记做 T（n）=O（f（n）） 因此，问题的规模n越大，算法执行的时间的增长率与f（n）的增长率正相关，称作渐进时间复杂度（Asymptotic Time Complexity）。

算法的空间复杂度

算法的空间复杂度是指算法需要消耗的空间资源。其计算和表示方法与时间复杂度类似，一般都用复杂度的渐近性来表示。同时间复杂度相比，空间复杂度的分析要简单得多。

非確定性多項式時間(NP)

算法的实现

算法不单单可以用计算机程序来实现，也可以在神经网络、电路或者机械设备上实现。

例子一

这是算法的一个简单的例子。 我们有一串随机数列。我们的目的是找到这个数列中最大的数。如果将数列中的每一个数字看成是一颗豆子的大小,可以将下面的算法形象地称为“捡豆子”： # 首先将第一颗豆子放入口袋中。 # 从第二颗豆子开始检查，直到最后一颗豆子。如果正在检查的豆子比口袋中的还大，则将它捡起放入口袋中，同时丢掉原先口袋中的豆子。 # 最后口袋中的豆子就是所有的豆子中最大的一颗。 下面是一个形式算法，用近似于编程语言的伪代码表示 给定：一个数列“list"，以及数列的长度"length(list)" largest = list[1] for counter = 2 to length(list): if list[counter] > largest: largest = list[counter] print largest 符号说明:
- = 用于表示赋值。即：右边的值被赋予给左边的变量。
- List[counter]用于表示数列中的第counter项。例如：如果counter的值是5，那么List[counter]表示数列中的第5项。
- <= 用于表示“小于或等于”。

例子二

求两个自然数的最大公约数 设两个变量 M 和 N #如果 M < N，则交换 M 和 N #M 被 N 除，得到余数 R #判断 R＝0，正确则 N 即为“最大公约数”，否则下一步 #将 N 赋值给 M，将 R 赋值给 N，重做第一步。 用“BASIC 代码”表示－－ If M < N Then Swap M,N Do While R <> 0 R = M Mod N M = N N = R Loop Print N

算法设计和分析的基本方法


- 分治法
- 动态规划
- 贪心法（亦作饕餮法）

算法的分类


- 基本算法
  - 枚举
  - 搜索
    - 深度优先搜索
    - 广度优先搜索
    - 启发式搜索
    - 遗传算法
- 数据结构的算法
- 数论与代数算法
- 计算几何的算法
  - 凸包算法
- 图论的算法
  - 哈夫曼编码
  - 树的遍历
  - 最短路径算法
  - 最小生成树算法
  - 最小树形图
  - 网络流算法
  - 匹配算法
- 动态规划
- 其他
  - 数值分析
  - 加密算法
  - 排序算法
  - 检索算法
  - 随机化算法
  - 关于并行算法，请参阅并行计算一文。

参见


- 计算机科学课程列表 ja:アルゴリズム ko:알고리즘 th:อัลกอริทึม

自然数

自然数，即: 0注1、1、2、3、4…… 自然数，就是人们数数时产生的数（如“有3个苹果”），所以用来表示物体个数的数叫做自然数。一个物体也没有，当然可以用“0”来表示，所以“0”也是自然数。 自然数除去“0”后，也可用于排序（如“排名第4”）。 自然数更深层的特性，例如素数的分布，属于数论研究范围的课题。 数学家一般以\mathbb代表以自然数组成的集合。此集合无上界而可数。

历史与0的定性

自然数由数数目而起。古希腊人最早研究其抽象特性，当中毕达哥拉斯学派更视之为宇宙之基本。其它古文明也对其研究作出极大贡献，尤其以印度对0的接受，为人称道。 零早于公元前400年被巴比伦人用作数码使用。玛雅人于公元200年将零视为数字，但未与其它文明有所交流。现代的观念由印度学者Brahmagupta于公元628年提出，经阿拉伯人传至欧洲。欧洲人开始时仍对零作为数字感到抗拒，认为零不是一个“自然”数。 19世纪末，集合论者给自然数一个较严谨的定义。据此定义，把零（对应于空集）包括于自然数内更为方便。逻辑论者及电算机科学家，接受集合论者的定义。有些数学家，主要是数论学家，则依从传统把零拒之于自然数之外。

符号

数学家们使用 N 或 \mathbb 来表示所有自然数的集合。这是一个可数的无穷集合。为了明确的表示不包含0，正整数集合一般如下表示：
- N+ 或
\mathbb^

- Z+ 或
\mathbb^
而非负整数集合一般如下表示：
- N0 或
\mathbb^

- Z+0 或
\mathbb^_
有些作者也使用 W 或 \mathbb 来表示“所有的数”的集合。

定义

要给出自然数的严谨定义并非易事。Peano公设提出自然数要适合五点：
- 有一起始自然数 0。
- 任一自然数 a 必有后继（successor），记作 a +1。
- 0 并非任何自然数的后继。
- 不同的自然数有不同的后继。
- （数学归纳公设）有一与自然数有关的命题。设此命题对 0 成立，而当对任一自然数成立时，则对其后继亦成立，则此命题对所有自然数皆成立。 若把 0 除出自然数之外，则公设内的 0 要换作 1。 集合论中的一般构作法是把一自然数看作是所有比它少的自然数组成的集，即　0 =｛ {0{0,1{0,1,2

最大公约数

最大公因數（Greatest common divisor，簡寫為gcd)，指某几個整數共有因數中最大的一個。 兩個整數的最大公因數主要有兩種尋找方法：
- 兩數各分解質因數，然後取出同樣有的項乘起來
- 輾轉相除法（擴展版） 和最小公倍數（lcm）的關係：gcd(a, b)×lcm(a, b) = ab 兩個整數的最大公因數可用於計算兩數的最小公倍數，或分數化簡成最簡分數。 兩個整數的最大公因數和最小公倍數中存在分配律：
- gcd(a, lcm(b, c)) = lcm(gcd(a, b), gcd(a, c))
- lcm(a, gcd(b, c)) = gcd(lcm(a, b), lcm(a, c)) 在座標裏，將點(0, 0)和(a, b)連起來，通過整數座標的點的數目（除了(0, 0)一點之外）就是gcd(a, b)。 Category:数论 ja:最大公約数

实数

数学上，实数直观地定义为和数线上的点一一对应的数。本來實數只喚作數，後來引入了虚数概念，原本的數稱作“實數”——意義是“實在的數”。 实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类，或正数，负数和零三类。实数集合通常用字母 R 或 \Bbb 表示。而 Rn 表示 n 维实数空间。实数是不可数的。实数是实分析的核心研究对象。 实数可以用来测量连续的量。理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后 n 位，n 为正整数）。在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数来表示。

历史

埃及人早在大约公元前1000年就开始运用分数了。在公元前500年左右，以毕达哥拉斯为首的希腊数学家们意识到了无理数存在的必要性。印度人于公元600年左右发明了负数，据说中国也曾发明负数，但稍晚于印度。 直到17世纪，实数才在欧洲被广泛接受。18世纪，微积分学在实数的基础上发展起来。直到1871年，德国数学家康托尔第一次提出了实数的严格定义。

定义

從有理數构造實數

實數可以不同方式從有理數构造出來。这里给出其中一种，其他方法请詳見實數的构造。

公理的方法

设 R 是所有实数的集合，则：
- 集合 R 是一个域： 可以作加、减、乘、除运算，且有如交换律，结合律等常见性质。
- 域 R 是个有序域，即存在全序关系 ≥ ，对所有实数 x, y 和 z：
  - 若 x ≥ y 则 x + z ≥ y + z；
  - 若 x ≥ 0 且 y ≥ 0 则 xy ≥ 0。
- 集合 R 满足戴德金完备性，即任意 R 的非空子集 S (S \in R, S\ne\emptyset)，若 S 在 R 内有上界，那么 S 在 R 内有上确界。 最后一条是区分实数和有理数的关键。例如所有平方小于 2 的有理数的集合存在有理数上界，如 1.5；但是不存在有理数上确界（因为 \sqrt2 不是有理数）。 實數通过上述性质唯一确定。更准确的说，给定任意两个戴德金完备的有序域 R1 和 R2，存在从 R1 到 R2 的唯一的域同構，即代數學上兩者可看作是相同的。

例子


- 15 (整数)
- 2.121 (有限小数)
- 1.3333333... (无限循环小数)
- π = 3.1415926... (无限不循环小数)
- \sqrt3 (无理数)
- \frac1 3 (分数)

性质

完備性

作为度量空間或一致空間，實數集合是个完备空间，它有以下性质： :所有實數的柯西序列都有一個實數極限。 有理數集合就不是完备空间。例如，(1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, ...) 是有理數的柯西序列，但沒有有理數極限。实际上，它有個實數極限 \sqrt 2。實數是有理數的完备化——這亦是构造實數集合的一种方法。 極限的存在是微積分的基礎。實數的完備性等價於欧几里德几何的直線沒有“空隙”。

“完备的有序域”

实数集合通常被描述为“完备的有序域”，这可以几种解释。
- 首先，有序域可以是完备格。然而，很容易发现没有有序域会是完备格。这是由于有序域没有最大元素（对任意元素 z，z + 1 将更大）。所以，这里的“完备”不是完备格的意思。
- 另外，有序域满足戴德金完备性，这在上述公理中已经定义。上述的唯一性也说明了这里的“完备”是指戴德金完备性的意思。这个完备性的意思非常接近采用戴德金分割来构造实数的方法，即从（有理数）有序域出发，通过标准的方法建立戴德金完备性。
- 这两个完备性的概念都忽略了域的结构。然而，有序群（域是种特殊的群）可以定义一致空间，而一致空间又有完备空间的概念。上述完备性中所述的只是一个特例。（这里采用一致空间中的完备性概念，而不是相关的人们熟知的度量空间的完备性，这是由于度量空间的定义依赖于实数的性质。）当然，R 并不是唯一的一致完备的有序域，但它是唯一的一致完备的阿基米德域。实际上，“完备的阿基米德域”比“完备的有序域”更常见。可以证明，任意一致完备的阿基米德域必然是戴德金完备的（当然反之亦然）。这个完备性的意思非常接近采用柯西序列来构造实数的方法，即从（有理数）阿基米德域出发，通过标准的方法建立一致完备性。
- “完备的阿基米德域”最早是由希尔伯特提出来的，他还想表达一些不同于上述的意思。他认为，实数构成了最大的阿基米德域，即所有其他的阿基米德域都是 R 的子域。这样 R 是“完备的”是指，在其中加入任何元素都将使它不再是阿基米德域。这个完备性的意思非常接近用超实数来构造实数的方法，即从某个包含所有（超实数）有序域的纯类出发，从其子域中找出最大的阿基米德域。

高级性质


- 实数集是不可数的，也就是说，实数的个数严格多于自然数的个数（尽管两者都是无穷大）。这一点，可以通过康托尔对角线方法证明。实际上，实数集的势为 2ω（请参见连续统的势），即自然数集的幂集的势。由于实数集中只有可数集个数的元素可能是代数数，绝大多数实数是超越数。实数集的子集中，不存在其势严格大于自然数集的势且严格小于实数集的势的集合，这就是连续统假设。该假设不能被证明是否正确，这是因为它和集合论的公理不相关。
- 实数集构成了一个度量空间：x 和 y 间的距离定义为绝对值 |x - y|。作为一个全序集，它也具有序拓扑。这里，从度量和序关系得到的拓扑是一样的。实数集又是 1 维的可缩空间（所以也是连通空间）、局部紧致空间、可分空间、贝利空间。但实数集不是紧致空间。这些可以通过特定的性质来确定，例如，无限连续可分的序拓扑必须和实数集同胚。
- 所有非负实数的平方根属于 R，但这对负数不成立。这表明 R 上的序是由其代数结构确定的。而且，所有奇数次多项式至少有一个根属于 R。这两个性质使 R成为实闭域的最主要的实例。证明这一点就是对代数基本定理的证明的前半部分。
- 实数集拥有一个规范的测度，即勒贝格测度。
- 实数集的上确界公理用到了实数集的子集，这是一种二阶逻辑的陈述。不可能只采用一阶逻辑来刻画实数集：1. Löwenheim-Skolem 定理说明，存在一个实数集的可数稠密子集，它在一阶逻辑中正好满足和实数集自身完全相同的命题；2. 超实数的集合远远大于 R，但也同样满足和 R 一样的一阶逻辑命题。满足和 R 一样的一阶逻辑命题的有序域称为 R 的非标准模型。这就是非标准分析的研究内容，在非标准模型中证明一阶逻辑命题（可能比在 R 中证明要简单一些），从而确定这些命题在 R 中也成立。

扩展与一般化

实数集可以在几种不同的方面进行扩展和一般化：
- 最自然的扩展可能就是复数了。复数集包含了所有多项式的根。但是，复数集不是一个有序域。
- 实数集扩展的有序域是超实数的集合，包含无穷小和无穷大。它不是一个阿基米德域。
- 有时候，形式元素 +∞ 和 -∞ 加入实数集，构成扩展的实数轴。它是一个紧致空间，而不是一个域，但它保留了许多实数的性质。
- 希尔伯特空间的自伴随算子在许多方面一般化实数集：它们可以是有序的（尽管不一定全序）、完备的；它们所有的特征值都是实数；它们构成一个实结合代数。

请参阅


- 有理数
- 无理数
- 虚数
- 复数 Category:實數 ja:実数 ko:실수 th:จำนวนจริง

量子力学

量子力学理论和相对论理论是现代物理学的两大基本支柱，经典力学奠定了现代物理学的基础，但对于高速运动的物体和微观条件下的物体，牛顿定律不再适用，相对论解决了高速运动问题；量子力学解决了微观亚原子条件下的问题。量子力学认为在亚原子条件下，粒子的运动速度和位置不可能同时得到精确的测量，微观粒子的动量、电荷、能量、粒子数等特性都是分立不连续的，量子力学定律不能描述粒子运动的轨道细节，只能给出相对機率，为此爱因斯坦和玻尔产生激烈争论，并直至去世时仍不承认量子力学理论的哥本哈根诠释。 量子力学是一个物理学的理论框架，是对经典物理学在微观领域的一次革命。它有很多基本特征，如不确定性、量子涨落、波粒二象性等，在原子和亚原子的微观尺度上将变的极为显著。爱因斯坦、海森堡、玻尔、薛定谔、狄拉克等人对其理论发展做出了重要贡献。 量子力学和--的結合產生了一門新的學科——--。

量子力学理论体系

量子力学基本假设

波函数假设

在量子力学中，体系的状态用坐标和时间的函数 ψ 来描述。这个函数叫做状态函数或者叫波函数，它包涵和关于体系的可确定的全部知识。

量子力学算子假设

对于每一个物理量都有一个对应的量子力学算子。对应于物理量 F 的量子力学算子可以这样得到：写出物理量 F 作为笛卡儿坐标和对应动量的函数的经典表达式，然后做如下代换: :q = q (q为笛卡儿坐标，包括 xyz。) :P_q = \frac \frac

本征函数集完备性假设

代表任意物理量的线性厄米算子的本征函数集构成一个完备集。

测量平均值假设

一个态为的体系的物理量 A 的测量平均值是\langle A\rangle = \int = \langle\psi|\hat|\psi\rangle, 其中 \hat 是物理量 A 对应的量子力学算子。

电子自旋假设

电子具有自旋角动量，他的三个分量对应於量子力学的三个线性厄米算符 \hat_x、\hat_y 和 \hat_z,他们遵循角动量的对易关系： :[\hat_x, \hat_y] = i\hbar \hat_z :[\hat_y, \hat_z] = i\hbar \hat_x :[\hat_z, \hat_x] = i\hbar \hat_y

复杂体系态函数和能量本征值的近似算法

重要主题


- 波粒二象性和不确定关系
- 波函数和薛定谔方程
- 量子態和態向量
- 算符和本徵態、本徵值
- 量子力学中的微扰
- 量子散射
- 全同粒子
- 角动量理论
- 密度矩阵和量子统计
- 量子測量
- 量子纏結
- 量子脫散
- 二次量子化
- 量子多体问题
- 相对论性量子力学
- 量子场论
- 路径积分
- 决定论
- 因果律
- 自由意志

外部链接


- [http://www.blog.edu.cn/more.asp?name=muer&id=29900 大话量子力学史]
- [http://www.quantumchemistry.net/index.asp 量子化学网] Category:量子力学 ja:量子力学 ko:양자역학

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